二0 0七年西安航空技术高等专科学校

第四届《数学应用》竞赛试题及参考答案

一、填空题（本大题共6道小题，请将答案填到题中横线上，每小题5分，共30分）

1．设函数 ，其中p，q为任意常数，且已知f（2）=3，则f（-2）= 5 .

2．计算 .

3．设函数，则 .

4．不定积分=.

5. 若，则 .

6. 设函数的图形上点处的切线方程为，并满足方程，则函数.

二、计算题（本大题共6道小题，解题须有合理过程，每小题10分，共60分）

7．就k的下列不同取值，讨论极限（其中a≠0）：

（1）正整数；（2）负整数；（3）零.

【解】（1）当k为正整数时，有

（2）当k为负整数时，若A≠0时，有

若A=0时，有

（3）当k为零时，有

8．已知，，求

【解】 由于

所以

9．设函数具有二阶连续导数，且 ，求，其中u是曲线上的点处的切线在x轴上的截距。

【解】 曲线上的点处的切线方程为

令x=0，得。故

而

所以

10. 求不定积分

【解】 解法一：

解法二：

设则，故

11. 求定积分.

【解】 =

=

令则且，故

=

=

=

=

=

12．学习微积分时一个并不罕见的错误是：将两函数乘积的求导法则理解成为。现已知函数，问是否存在一个开区间（a，b）以及定义在此区间上的非零函数g（x），使得这一错误的求导法则对区间（a，b）内的任一x都是成立的。

【解】若，即

将函数代入上式，有

得，则有

两边积分，有

则得

所以

因而函数g（x）可取为，a，b满足。

三、应用题（本大题共2道小题，解题须有合理过程，每题15分，共30分）

13．曲线（）与交于点，过坐标原点和点的直线与曲线围成一平面图形，问为何值时，该图形绕轴旋转所得旋转体体积最大，并求最大值。

【解】 解方程组

可得交点。所围图形如右：

其绕x轴旋转一周所得之旋转体的体积V为

则

令由于a>0,故得驻点a=4.由于此问题的最大值一定存在，而驻点只有一个，故最大值一定在这个驻点处取得。此时，体积的最大值为。

14．船在河中行驶时所受水的阻力与船的速度成正比，设将船视为一质点，初速度为，经过后速度为，问何时速度减为？到小船停止时它走过多少路程？

【解】 由牛顿第二定律结合题意有

m为船的质量，a为加速度，v为船的运行速度，k是比例常数，上式可化为

令，解得。

当t=0时，得C=1.5；又经过4秒后，速度v=1，故有。所以。

当速度减为时，有

解得 （秒）。

到船停止时走过的路程为

四、证明题（本大题共1道小题，解题须有合理过程，共10分）

15．证明：若二阶可导，且，，则在 内单调增加。

【证明】

由于x>0时，，故只需证明x>0时，即可。

记，则。

由题意可知，当x>0时，。所以当x>0时，。即知函数F（x）在 内单调递增。